Вторые 11 логико-математических головоломок от Антуана и Тьерри: переворачивание карт, соединение точек, манипуляция результатами выборов, гордиев узел, размножение кроликов, розыгрыш пенальти, разделение плитки шоколада, а также правдолюбы и лжецы, саванты и злые собаки.

11

ИСТИНА ВО ЛЖИ

Проводя эксперименты в старом замке, Корнелиус обнаруживает тысячи игральных карт, использовавшихся в давно забытой игре; каждая из них имеет букву с одной стороны и цифру с другой. После продолжительного изучения карт, он приходит к выводу, что карты с согласными буквами имеют с обратной стороны чётное число.

Если бы вы могли перевернуть всего две карты, чтобы проверить данную теорию, какие из карт ниже вы бы выбрали?

Решение

Единственный способ достоверно установить правильность теории Корнелиуса, — это найти карту, которая её опровергает. Констатация того, что карта с согласной буквой на обратной стороне имеет чётное число, лишь временно подтвердила бы её правильность.

Соответственно, если мы переворачиваем карту с цифрой 6 и обнаруживаем на обратной стороне согласную букву, это позволяет подтвердить теорию, но не позволяет опровергнуть её, если на обратной стороне окажется гласная. Согласно теории Корнелиуса, согласной должно соответствовать чётное число; но это не значит, что чётному числу обязательно должна соответствовать согласная. Поэтому переворачивать карту А бесполезно.

А вот карту с буквой L обязательно нужно перевернуть: если на обратной стороне будет чётное число, то это подтвердит теорию; если нечётное — теория будет опровергнута. Нужно также перевернуть карту с цифрой 7: если на обратной стороне окажется гласная, это опровергнет теорию; в противном случае, теория будет подтверждена.

Важно помнить: любое подтверждение лишь временно, тогда как опровержение окончательно.

За кулисами

Кто говорит правду?

Многие считают, что научное открытие — это установление абсолютной и непреложной истины. Однако достаточно ли того, что эксперимент — или многочисленные эксперименты — подтвердили теорию? Делает ли это её верной? Вовсе нет. Именно это пытается нам сказать Бертран Рассел, приводя в пример индейку, которая думает, что раз фермер каждое утро в установленное время кормит её, то так будет всегда. Индейка в этом примере — сторонница индукции, то есть метода, заключающегося в выведении общего правила из частных случаев. Однако наступает Рождество, и индейка сама становится едой.

Опровержение, таким образом, выступает судьёй любой научной теории. Карл Поппер называет это фальсифицируемостью теории. Согласно этому великому теоретику науки ХХ века, теория верна до тех пор, пока не доказано, что она ложна. Научный прогресс — это процесс формулирования и опровержения теорий. Из этого следует, что научные знания не могут считаться абсолютной истиной. Аристотелевская и ньютоновская физика были в итоге опровергнуты; нет никакой гарантии, что-то же самое не произойдёт однажды с открытиями Эйнштейна. Паскаль писал: «Истина по одну сторону Пиренеев — заблуждение по другую». Перефразируя его, можно сказать: истина в одну эпоху — заблуждение в другую.

Подход, ставящий на первое место опровержение, а не подтверждение, может показаться контринтуитивным. Именно поэтому, столкнувшись с головоломкой вроде той, что приведена в начале данной главы, большинство людей склонны пытаться подтвердить теорию Корнелиуса. Данная склонность известна в психологии как склонность к подтверждению своей точки зрения. Эта очень распространённая когнитивная ловушка, например, заставляет нас читать исключительно газеты или сайты, согласующиеся с нашими взгляами. А ещё — игнорировать или оспаривать неприятную для нас информацию. Например, мы редко подвергаем сомнению медицинское заключение, согласно которому мы совершенно здоровы; в то же время, если оно гласит, что мы больны, мы хотим получить второе мнение. Как и Фома неверующий, люди верят только тому, что видят; но верно также и то, что они видят только то, чему верят, и предпочитают подтверждать, а не опровергать свои убеждения.

Синдром политого поливальщика

Вернёмся к Карлу Попперу и спросим себя: являются ли факты, опровергающие теорию, неопровержимыми? Другими словами: если следует ставить под сомнение верность теории (даже если она подтверждается опытом), почему бы не ставить под сомнение то, что её опровергает?

Принимая опровержение некоей теории, Поппер тем самым негласно признаёт истинность опровергающих её фактов. Но какой вес имеют данные факты, если, согласно ему самому, не существует никаких окончательных истин? Как минимум, к ним стоит относиться с подозрением. Научному сообществу может быть нелегко определить, какую из двух конкурирующих теорий стоит считать «верной». Взять, к примеру, квантовую и волновую физику: обе теории многое объясняют, однако их постулаты несовместимы.

Критерий фальсифицируемости несомненно создал бы проблемы, если бы его применяли, например, в судебной практике. Представьте подсудимого, чья невиновность была бы подтверждена показаниями сотни свидетелей, но который затем был бы осуждён без права на обжалование приговора на основании изобличающих показаний одного-единственного свидетеля. И даже если бы этот единственный обвинитель не дал показаний, наш подсудимый, несмотря на сотни свидетельских показаний в свою пользу, был бы признан невиновным лишь временно. В этом случае он оставался бы на свободе лишь до появления одного свидетеля, который бы дал показания против него. Над каждым невиновным постоянно нависал бы Дамоклов меч. Именно такова судьба каждой научной теории.

В заключение вернёмся к нашей изначальной головоломке. Предположим, мы переворачиваем карту с буквой V и обнаруживаем на обратной стороне нечётное число. Согласно Попперу, это опровергло бы теорию Корнелиуса. Разве что оказалось бы, что V на данной карте — это не буква, а римская цифра. Человеку свойственно ошибаться, говорили антики… в том числе, и при опровержении теорий.

12

МАТ-БОЛ

Президент престижного теннис-клуба решает нанять бывшего профессионального теннисиста для подготовки своей команды к турниру. После продолжительных поисков он останавливает свой выбор на двух игроках, результаты которых он затем сравнивает, чтобы выбрать более успешного. Джон А за свою карьеру одержал 68% побед на малых и крупных турнирах, тогда как Филип Б — 77% (также участвуя в этих двух типах турниров). Однако после тщательного анализа президент делает выбор в пользу Джона А. При этом Филипу Б нечего возразить на этот счёт.

Почему?

Решение

Выбор президента кажется нелогичным. Однако, чтобы понять его, недостаточно учитывать лишь общий процент побед, не зная, сколько из них было одержано на малых турнирах, а сколько — на крупных. Существует математическая возможность того, что теннисист, имеющий лучшую статистику на обоих типах турниров вместе, может иметь худшую статистику на крупных.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим малые и крупные турниры по отдельности. Джон А выиграл 99% матчей на малых турнирах (88 побед в 89 матчах), тогда как Филип Б — 92% (240 побед в 260 матчах). На крупных турнирах Джон А одержал 57% побед (150 побед в 261 матче), а Филип Б — 33% (30 в 90). В обоих случаях статистика однозначно в пользу Джона А; тем не менее, если сложить цифры, получим парадоксальный результат: 68% побед у Джона и 77% побед у Филипа.

Джон АФилип Б% победкол-во победкол-во матчей% победкол-во победкол-во мачтейМалые турниры99%888992%240260Крупные турниры57%15026133%3090В общем68%23835077%270350

Парадокс проясняется, когда мы замечаем, что количество крупных турниров (победу на которых одержать куда труднее), в которых принимали участие Джон А и Филип Б, неодинаково. Филип Б, одержавший меньше побед как на малых, так и на крупных турнирах, имеет более высокий общий процент побед, чем Джон А, исключительно благодаря тому, что сыграл куда меньше матчей на крупных турнирах.

За кулисами

Сравнение — не доказательство

Как мы видим, результат исследования может кардинально меняться в зависимости от точности, с которой анализируются данные. Данное явление известно как парадокс Симпсона (также парадокс Юла — Симпсона). Возникающие таким образом вводящие в заблуждение данные обусловлены влиянием искажающего фактора, а именно переменной, которая не учитывается и которая меняет конечный результат. В нашем случае, этим фактором был уровень соперников, сильно отличающийся на малых и крупных турнирах. Парадокс Симпсона показывает, что необязательно фальсифицировать данные, чтобы получить противоречащий реальному положению дел результат: достаточно лишь смешать разнородные данные.

В реальной жизни ошибочные выводы, проистекающие из смешения разнородных данных, могут иметь серьёзные последствия в самых разных сферах. Один из самых известных примеров связан со статьёй, опубликованной в 1986 году в престижном журнале «British Medical Journal», авторы которой пришли к совершенно неверным выводам при сравнении двух методов лечения камней в почках. Статистическая ошибка была обусловлена смешением данных о камнях разного размера.

Лечение АЛечение ВМелкие камни93% (81/87)87% (234/270)Крупные камни73% (192/263)69% (55/80)В общем78% (273/350)83% (289/350)

На основе этих данных можно заключить, что лечение А эффективнее как в случае с мелкими, так и в случае с крупными камнями. Однако его суммарный показатель эффективности ниже по той причине, что оно намного чаще использовалось при лечении крупных камней (которые труднее поддаются лечению), чем лечение В.

Выборы, ловушка для дураков

Военный инженер и морской офицер Жан-Шарль шевалье де Борда заинтересовался темой выборов, когда некоторые продвижения по службе вызвали споры в Королевской академии наук. В те времена использовался принцип большинства в его современной форме: победителем считался тот из кандидатов, который набрал больше всего голосов. Проще некуда. Однако, как и в случае с парадоксом Симпсона, за простотой может скрываться многое: в некоторых случаях результат выборов может быть прямо противоположным воле избирателей.

В 1770 году Борда опубликовал «Мемуары о выборах, проводимых путём голосования», в которых описал сценарии выборов с 21 избирателями и 3 кандидатами (A, B, C). Голоса разделяются следующим образом: 8 избрателей голосуют за A, 7 — за B и 6 — за C. Кажется, что кандидат A должен победить. Однако Борда идёт дальше и рассматривает ситуацию, при которой избиратели вместо указания всего одного имени в бюллетене нумеруют кандидатов в порядке предпочтения:

Избиратели1-е место2-е место3-е место1АВС2АСВ3АСВ4АСВ5АСВ6АСВ7АСВ8АСВ9ВСА10ВСА11ВСА12ВСА13ВСА14ВСА15ВСА16СВА17СВА18СВА19СВА20СВА21СВА

Борда затем предлагает начислять баллы в зависимости от места, на которое поставил кандидатов каждый из избирателей: 3 балла за 1-е место, 2 — за 2-е место и 1 — за 3-е место. Если подсчитать набранное каждым из кандидатов количество очков, получим:

• Кандидата А 8 раз поставили на 1-е место и 13 раз на 3-е. Следовательно он набирает 8 Х 3 + 13 Х 1 = 37 баллов.
• Кандидата В 7 раз поставили на 1-е место, 7 раз на 2-е и 7 раз на 3-е. Он набирает 7 Х 3 + 7 Х 2 + 7 Х 1 = 42 балла.
• Кандидата С 6 раз поставили на 1-е место, 14 раз на 2-е и 1 раз на 3-е. Он набирает 6 Х 3 + 14 Х 2 + 1 Х 1 = 47 баллов.

Как видим, победителем оказывается кандидат С, тогда как кандидат А, который победил при мажоритарной системе, занимает последнее место. Кандидат А получил больше всего первых мест, но также и больше всего последних. Таким образом, Борда показывает, что голосование большинством может быть обманчивым.

Схожая ситуация произошла во время президентских выборов 2007 года во Франции. Во главе шли трое кандидатов: Сеголен Руаяль (от левых), Франсуа Байру (от центристов) и Николя Саркози (от правых). Выборы во Франции проходят в два тура. Согласно опросам, опубликованным незадолго до начала первого тура, если бы Байру вышел во второй тур, то одержал бы победу как над Руаяль, так и над Саркози. Другими словами, большинство избирателей отдавали предпочтение Байру перед двумя другими кандидатами. Тем не менее, в первом туре Байру набрал наименьшее количество голосов и не вышел во второй тур. Если бы на выборах 2007 года использовался метод Борда, Байру несомненно бы победил: как сторонники левых, так и сторонники правых поставили Байру на второе место; сторонники центристов, само собой, — на первое. Однако нет никаких оснований утверждать, что метод Борда (или любой другой метод голосования) — лучший: каждый имеет свои преимущества и свои недостатки.

Например, при методе Борда обычно выигрывает наиболее близкий к центру кандидат; таким образом, победителем становится наименее ненавидимый, но необязательно наиболее любимый кандидат.

13

ГЛАЗА В ГЛАЗА

Представьте себе просторный зал в замке, в котором король запирает 100 логиков из своего королевства и объявляет, что каждое утро будет лично открывать двери и выпускать исключительно людей с голубыми глазами (если обладатель любого другого цвета глаз попробует проскользнуть, то будет казнён). Перед тем, как уйти, король говорит, что как минимум у одного из людей в зале глаза голубого цвета. Но так как в этом королевстве нет зеркал, никто не знает, какого цвета у него глаза. Более того, людям в зале не позволено общаться друг с другом — ни при помощи слов, ни при помощи жестов. Утром следующего дня король открывает двери, но никто не выходит. Через два дня король снова открывает двери, и выходят двое. Эти двое — единственные из 100, у кого голубые глаза. Как они узнали цвет своих глаз?

Решение

Предположим сначала, что голубые глаза у одного человека — Амели. В первый день она не видит никого с голубыми глазами (потому что в данном случае она такая одна), поэтому, на основе предоставленной королём информации (как минимум у одного из людей в зале глаза голубого цвета) она делает вывод, что голубые глаза у неё одной.

Теперь рассмотрим ситуацию, при которой голубые глаза у двух человек — Амели и Бориса. В первый день Амели видит, что только у Бориса голубые глаза. Она ждёт, что он выйдет; но он этого не делает. Амели понимает, что Борис мыслит так же, как и она: увидев, что у Амели голубые глаза, Борис ждёт, что она выйдет. Поскольку в первый день никто не вышел, значит голубые глаза и у Амели, и у Бориса. Убедившись в этом, обое выходят на второй день.

За кулисами

Поставьте себя на моё место

Эмпатия необходима для жизни в обществе. Более того, она является основой человечности. В то же время, некоторые мыслители предостерегают от избытка эмпатии. Именно таким было послание Сократа перед смертью. В «Федоне» Платон сообщает, что Сократ прогнал свою семью, которая пришла навестить его в темнице, отвергнув тем самым их жалость. Данную сцену воссоздал на своей картине «Смерть Сократа» Жак Луи Давид: философ сидит, подняв перст, и не обращает внимания на слёзы своих учеников. Спиноза в «Этике» также с презрением отзывается о жалости, которая, по его словам, делает людей слабыми и несчастными, помрачает сознание: невозможно поступать разумно, находясь в плену эмоций. Наконец, Ницше в «Антихристе» яростно критикует жалость слабых, которая множит несчастье вместо того, чтобы ему противостоять. Таким образом, чрезмерная эмпатия ослабляет человека, который её испытывает — так, например, обстоит дело с медсестрой, которая слишком глубоко переживает страдания пациентов.

Однако эмпатия состоит не только в сочувствии окружающим, а также в понимании других людей. В таком случае принято говорить о когнитивной эмпатии. Именно её подразумевает наша головоломка, в которой необходимо думать так, как думает другой человек.

Но это применимо не только к людям. Один из величайших гениев в истории математики, Сриниваса Рамануджан, имел привычку общаться с числами, мысленно представлять себе их мир. Это позволяло ему интуитивно открывать теоремы. Путешествуя между Индией и Оксфордом, где он преподавал, он исписал тысячи страниц блокнотов результатами из теории чисел, на доказательство некоторых из которых ушли десятилетия. Из около 3 тысяч найденных им результатов лишь менее десятка оказались неверными. Одни из его открытий гениальны в своей простоте:

Другие, наоборот, невероятно сложны:

Нельзя не упомянуть здесь невероятную формулу, связывающую Пи и число Эйлера, два очень важных в математике числа:

Как Рамануджану удалось открыть эти формулы? Мы не знаем, поскольку он не приводил доказательств и не имел строгого метода. Его секрет состоял в том, что «каждое натуральное число было его личным другом». Такие же отношения должны быть между философом и мудростью.

К общему знанию

Объявляя 100 логикам о том, что по крайней мере у одного из них голубые глаза, король предоставляет совершенно бесполезную информацию: остальные 98 человек, у которых глаза не голубые, и так видят двух голубоглазых; что касается последних, то хоть они не знают цвет собственных глаз, каждый из них может видеть другого. Однако дело меняет тот факт, что отныне все как коллектив знают о том, что среди них есть как минимум один голубоглазый.

Без этой информации, если бы голубоглазым был только один человек, он был бы не способен ничего понять: он видел бы, что ни у кого вокруг нет голубых глаз, однако не зная, что в зале есть как минимум один голубоглазый, он не понял бы, что это он сам. Он мог бы подумать, что голубоглазых нет вовсе и что король просто издевается над своими подданными.

В случае с двумя голубоглазыми, Амели заметила, что у Бориса голубые глаза, а тот заметил, что у неё. Однако поначалу они не могли сделать из этого никаких выводов. В первый день никто не вышел, но из этого тоже нельзя было сделать никаких выводов: Амели думала, что, по мнению Бориса, у него не голубые глаза, и наоборот. Недоставало ключевого элемента — а именно информации о том, что как минимум у одного из них голубые глаза. Благодаря этому Амели сказала себе, что если бы Борис был единственным голубоглазым, он должен был это понять и выйти в первый же день. А поскольку этого не произошло, можно сделать вывод, что ситуация симметрична и что у неё тоже голубые глаза.

Как получается, что информация, известная каждому по отдельности, может иметь решающее влияние на принятие решений, когда она становится известна коллективно? Король не шепчет каждому на ухо, а обращается ко всем одновременно. Как следствие, каждый не только знает саму информацию, но и знает, что остальные знают. Это всё меняет: поскольку я знаю, что другие знают, я могу мыслить, как они, ставя себя на их место. Возникает некая прозрачность, которая устраняет индивидуальные барьеры. Можно представить, что король предоставляет информацию не каждому из 100 подданных, а воображаемому 101-му подданному, олицетворяющему всех вместе. Благодаря совместному владению информацией, 100 людей превращаются во всеведущее 100-головое и 200-глазое чудовище.

Способность ума ставить себя на место другого также называется спекулярностью. Спекулярность первого порядка — это «я знаю, что ты знаешь», спекулярность второго — «я знаю, что ты знаешь, что я знаю», и так далее. Чем больше мы общаемся с другими людьми, тем лучше мы их знаем и тем лучше знаем самих себя.

Когда я думаю о тебе, я думаю о себе

Мы часто эгоистично думаем, что мы преуспели, потому что заслужили это, а другие потерпели неудачу, потому что заслужили это. Поэтому мы редко ставим себя на место других людей, то есть в их социальные, экономические, семейные и т. д. обстоятельства. В период, когда связанных с социальной мобильностью опасений и надежд почти не существовало, Жан-Жак Руссо писал:

«Почему короли безжалостны к своим подданным? — Потому что они не рассчитывают быть когда-либо простыми людьми. Почему богачи столь суровы к беднякам? — Потому что они не опасаются стать бедняками».

Сегодня, наоборот, богатые боятся обеднеть, а менее обеспеченные боятся, что их обойдут иммигранты. Так устроен страх деклассации: «старшее поколение боится потерять статус, а молодое — никогда его не приобрести». В итоге отношения граждан начинают характеризоваться фразой «человек человеку волк»: все борятся друг с другом за сохранение или приобретения привилегий. В итоге большинство проигрывает, тогда как крошечное меньшинство сохраняет своё привилегированное положение.

Все группы населения, которые были маргинализированы республикой на протяжении десятилетий, были маргинализированы из-за эгоизма: обладающие какой бы то ни было властью делали всё, чтобы вытеснить отличающихся от них людей на периферию. В краткосрочной перспективе данная стратегия представляется выигрышной для привилегированной части населения. Однако в долгосрочной она имеет эффект бумеранга: образовавшийся в результате социальный разрыв порождает страх, жажду мести и насилие.

В конце XVIII века, в период зарождения современных демократических государств, Томас Джефферсон писал в письме богатому английскому купцу, обосновавшемуся в Вашингтоне:

«Эгоизм преподносится как источник нравственных поступков. Говорят, что мы кормим голодных, одеваем нагих, перевязываем раны избитого разбойниками человека, поливаем его маслом и вином, сажаем его на своего коня и отвозим в гостиницу, потому что сами получаем удовольствие от этих поступков. … Это действительно так. Но главный вопрос не в этом. Эти добрые дела доставляют нам удовольствие, но почему? Потому что природа вложила в наши сердца любовь к другим, чувство долга перед ними, одним словом, моральный инстинкт, который побуждает нас сострадать им и облегчать их страдания».

Другими словами, зарождающейся утилитаристской философии Джефферсон противопоставляет гуманистическую. Его мысль можно интерпретировать так: демократия не может быть здоровой и полноценной, если каждый гражданин думает только о собственных интересах вместо интересов других людей. Порядочный гражданин должен ставить себя на место своих сограждан. В нашей загадке король является источником общего знания, а в демократии оно проистекает из коллективного обсуждения.

14

КЛУБ ЧЕСТНЫХ ЛЮДЕЙ

Престижный клуб лжецов и правдолюбов приглашает математика выступить с лекцией о правде в математике. Каждый из членов клуба — либо честный человек, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт.

После лекции члены клуба обедают за большим круглым столом. Математик хочет ближе познакомиться с ними. Он спрашивает каждого, правдолюб тот или лжец. Разумеется, все отвечают, что они правдолюбы. Тогда математик спрашивает каждого, кто его сосед по левую руку: правдолюб или лжец. На этот раз каждый отвечает, что слева от него сидит лжец.

Вернувшись домой, математик звонит председателю клуба, чтобы узнать его мнение о лекции. Последний отвечает, что лекция была провальной и никто ничего не понял. Тогда математик спрашивает председателя, сколько человек присутствовало на лекции. Тот отвечает, что 37.

Была ли лекция на самом деле провальной?

Решение

Поскольку все члены клуба заявили, что их сосед — лжец, ясно, что правдолюбы и лжецы сидели поочерёдно (лжец, правдолюб, лжец, правдолюб и т. д.). Поскольку они сидели за круглым столом, количество правдолюбов и лжецов было одинаковым. Это значит, что число членов клуба было чётным. Следовательно, на лекции не могло присутствовать 37 человек. А значит, председатель клуба — лжец.

Итак, математик может заключить, что председатель солгал, заявив, будто лекция была провальной.

За кулисами

Хождение по кругу

Ключ к головоломке кроется в том факте, что стол круглый; благодаря этому у каждого члена клуба есть сосед слева. Если бы стол был прямоугольным, слева от последнего человека не сидел бы никто, и это не позволило бы получить полную информацию.

В математике циклические явления можно анализировать при помощи конгруэнции. Взять, к примеру, дни недели. Предположим, сегодня понедельник, 1-е число месяца. Завтра будет вторник, 2-е; затем среда, 3-е и т. д. На какой день выпадет 27-е? Чтобы это установить, достаточно отнять число 7 столько раз, чтобы попасть в интервал между 1 и 7: 27 — 7 = 20, 20 — 7 = 13, 13 — 7 = 6. Поскольку 6 соответствует субботе, 27-е число выпадет на субботу. Говорится, что 27 конгруэнтно 6 по модулю 7 (то есть 27-е выпадает на тот же день, что и 6-е, при условии, что в неделе 7 дней). В математике, как правило, используются числа не от 1 до 7, а от 0 до 6. Таким образом, понедельник соответствует 0, вторник — 1 и так далее. В таком случае, следующий понедельник, равный 7, имеет то же значение, что и предыдущий: 7 = 0 (по модулю 7, само собой).

При сложении важно помнить о том, чтобы не выходить за пределы 6, которое является максимальным числом. Например, 4 + 5 = 9 неверно, потому что 9 больше 6. Поэтому мы отнимаем 7 и получаем 2. То есть в нашей системе 4 + 5 = 2. Так же и с умножением: имея 4 Х 5 = 20, мы отнимаем 7 дважды и получаем 4 Х 5 = 6.

Вот необычные таблицы сложения и умножения в группе коэффициента Z / 7Z (где Z обозначает множествео целых чисел, положительных и отрицательных), соответствующего дням недели:

С конгруэнтным днём рождения

Дни, месяцы и годы поддаются анализу при помощи конгруэнции. Разные математики предлагали разные формулы для определения, на какой день недели выпадает заданная дата. Возьмём дату j m abcd, где j означает порядковый номер дня, m — месяца, а abcd — год. Если мы хотим знать, на какой день выпадает 13 апреля 1972, то j=13, m=4, а abcd=1972.

Если использовать формулу Целлера:

Расчёты будут выглядеть так:

Сумма всех этих элементов равняется 82. От этого числа затем нужно 11 раз отнять 7, чтобы получить число в интервале от 0 до 6. В данном случае, это будет 5. В формуле Целлера 0 соответствует субботе, а пятница — 6. Таким образом, 13 апреля 1972 года выпадает на четверг.

15

СВОБОДА, ЗАВЕТНАЯ СВОБОДА

Рассмотрим первый рисунок, содержащий 16 точек, которые нужно соединить 6 прямыми линиями, не отнимая карандаш от бумаги.

На втором рисунке показан пример неудачной попытки решить данную головоломку:

А каково правильное решение?

Решение

За кулисами

Ограничения, которые мы сами на себя накладываем

Многие считают, что для того, чтобы решить трудную задачу, нужно иметь умственные способности выше среднего. В конце XIX века распространилась информация о том, что человек использует лишь 10% своего мозга. Трудно сказать, откуда она взялась, однако в неё верят по сей день. Тем не менее, это миф: чтобы убедиться в этом, достаточно сделать МРТ мозга.

И всё же, данное заблуждение и идеи, которые оно породило, содержат множество уроков. Например, мы убеждены, что нужно сильнее стараться, хотя во многих случаях достаточно просто мыслить иначе. Человек использует 100% своего мозга, но не всегда 100% своей свободы мысли.

Чтобы решить данную головоломку, необходимо выйти за рамки, навязанные 16 точками. Большинству людей это не приходит в голову, так как, видя 16 точек, мы сразу представляем себе квадрат, то есть фигуру, имеющую чёткие границы. Наш ум добровольно ограничивает себя искусственными рамками, которые не позволяют решить головоломку.

Каждый раз, когда мы видим новый объект, он автоматически ассоциируется у нас с формой, названием или мысленным образом, которые позволяют нам понять его при помощи уже имеющихся у нас знаний. Николай Кузанский, предвосхитивший современную эпистемологию, изложил данный метод в своём труде «Об учёном незнании» (1440). В первой главе под названием «О том, что знание есть незнание» он пишет:

«Все исследователи судят о неизвестном путём соразмеряющего сравнивания с чем-то уже знакомым, так что всё исследуется в сравнении и через посредство пропорции. Когда искомое сравнивается при этом с заранее известным путём краткой пропорциональной редукции, познающее суждение незатруднительно, и, наоборот, когда требуется много промежуточных звеньев, возникают трудности и неясности, как известно в математике, где начальные положения редуцировать к первым самоочевидным принципам проще, а последующие труднее, потому что надо обязательно проходить через те начальные».

Таким образом, некоторые вещи легче понять, сравнивая их с чем-то известным. Именно так мы инстинктивно поступаем при виде 16 точек. Поскольку мы не привыкли иметь дело с 16 объектами одновременно, то уподобляем их простой фигуре, которую они напоминают, — квадрату.

Как отмечает Николай Кузанский, когда требуется больше промежуточных звеньев, мы склонны терять ход мысли. Так происходит, например, когда мы читаем длинное математическое доказательство или философское эссе. Однако если мы возвращаемся к началу и идентифицируем все звенья одно за другим, всё проясняется. К сожалению, сообщает Кузанский, установить эти звенья не всегда возможно: например, между конечным и бесконечным, между человеком и Богом. Из этого автор делает вывод, что нужно признать своё невежество в отношении подобных вещей.

Как же быть? Решение в том, чтобы отказаться от метода аналогий, который, хоть и оказывается полезным в большинстве случаев, в некоторых других случаях заключает нас в ментальную тюрьму. Рассмотрим простой пример: я встречаю человека Х, с которым я не знаком, но который очень похож на моего друга А. Как следствие, я автоматически приписываю Х черты характера А, что искажает моё представление о нём.

Искусство разделения

Таким образом, чтобы решить головоломку, необходимо осмелиться выйти за рамки, которые мы сами себе устанавливаем, и в полной мере использовать свою свободу. Свобода означает не делать всё, что нам заблагорассудится, а использовать все возможности, которые предоставляют нам правила игры. Как отмечает Монтескьё: «Свобода есть право делать всё, что дозволено законами». Это нужно воспринимать не как ограничение, а как пространство для действия. В «Критике чистого разума» Кант использует красивую метафору:

«Рассекая в свободном полёте воздух и чувствуя его противодействие, лёгкий голубь мог бы вообразить, что в безвоздушном пространстве ему было бы гораздо удобнее летать».

Тем не менее, воздух, хоть и создаёт сопротивление, является условием свободы для голубя. Пытаясь решить головоломку, мы устанавливаем для себя правило: не выходить за рамки воображаемого квадрата. Голубя, которым в этом случае являемся мы, ограничивает ум. Поэтому стоит ещё раз прочитать задание; оно содержит всего два условия: использовать 6 прямых линий и не отрывать карандаш от бумаги. Никто не запрещает нам выходить за рамки фигуры. Так что решение не имеет ничего общего с математическими способностями. Это классический пример нестандартного мышления.

А вот ещё один. Согласно легенде, Гордий, отец знаменитого короля Мидаса, сделал сложнейший узел, и человек, который сумел бы распутать этот «гордиев узел», стал бы властителем всей Азии. Многие тщетно пытались это сделать. В итоге это удалось Александру Македонскому, который, не умея распутать узел, разрубил его мечом.

Данная стратегия может применяться и в спорте. Возьмём в качестве примера пенальти. Согласно правилам:

• Игрок, выполняющий 11-метровый удар, должен быть очевидно определён.
• Остальные игроки, кроме бьющего и вратаря, должны находиться за пределами штрафной площади.
• Игрок, выполняющий 11-метровый удар, должен направить мяч вперёд.
• Выполнивший удар игрок не должен играть в мяч снова до тех пор, пока мяча не коснётся другой игрок.
• Мяч находится в игре, когда по нему нанесён удар и он движется вперёд.

То есть пенальти — это необязательно удар по воротам. Исполняющий его игрок может просто котнуть мяч в сторону ворот; и поскольку с этого момента мяч находится в игре, любой другой игрок может по нему бить.

Так в 1957 году во время отборочного матча на чемпионат мира бельгийцы перехитрили исландцев. Счёт уже был 4:0 в пользу бельгийцев, когда они получили право на пробитие пенальти. Вместо того, чтобы бить по воротам, Анри Коппенс слегка катнул мяч вперёд. Выскочивший из-за его спины Андре Питерс отдал пас обратно на Коппенса, и тот забил гол. Нечто подобное было совершено впервые в истории футбола.

В межличностных отношениях аналогом данного подхода может быть книга Артура Шопенгауэра «Искусство побеждать в спорах», в которой немецкий философ предлагает 39 уловок, позволяющих одержать победу над оппонентом в дебатах.

Математическая свобода

В 1545 году итальянский математик Джероламо Кардано опубликовал свой трактат «Ars magna», в котором продемонстрировал своё мастерство в решении многочиселнных уравнений. Однако при решении одного из них у него возникли трудности. Он хочет построить прямоугольник с периметром 20 и площадью 40. Если x и y — это стороны прямоугольника, можно записать:

2x + 2y = 20 (периметр)

x * y = 40 (площадь)

Кардано решил добавить ещё одну переменную, z, обозначающую разницу между 5 (половины 10 = x + y) и x и y:

z = x — 5 = 5 — y  

Путём подстановки получаем:

(5 + z) * (5 — z) = 40

Сократив, получим:

25 — z2 = 40

В итоге имеем:

z2 = -15

Однако есть одна загвоздка: любое число, возведённое в квадрат, по необходимости положительное, поскольку минус на минус даёт плюс. Поэтому найти значение z невозможно. Это должно было бы заставить нас отказаться от попыток найти прямоугольник с периметром 20 и площадью 40. Однако Кардано не желает сдаваться и просит читателя представить себе корень из -15, хотя знает, что это теоретически невозможно.

Несмотря на репутацию Кардано и тот факт, что некоторые математики сразу же пустили в ход его открытие, эти теоретически невозможные числа были приняты научным сообществом не скоро. Для этого они должны были получить геометрическую интерпретацию. Это сделали датско-норвежский математик Каспар Вессель в 1799 и швейцарец Жан Робер Арган в 1806 году. Сегодня мнимое число стало обычным делом.

А вот ещё один пример преодоления рамок, на которое у математиков ушло 2 000 лет. Всё началось в III веке до н. э. с попытки Евклида заложить прочные основы геометрии. Он выдвинул пять постулатов: определений и принятых без доказательств положений. Последний постулат в его современной форме гласит, что если у нас есть точка А и прямая d, то через точку А можно провести только одну прямую, параллельную d. При взгляде на приведённый ниже рисунок это кажется очевидным:

Очевидность вытекает из допущения о том, что линия состоит из бесконечного числа точек, расположенных друг рядом с другом (тогда как плоскость состоит из бесконечного числа линий, расположенных друг рядом с другом). Ловушка скрывается в отождествлении двух схожих, но не идентичных понятий: линии и прямой. Прямая — это прямая линия (само собой), тогда как линия — это необязательно прямая линия. Если расположить рядом кривые линии, то мы получим не плоскость, а изогнутую поверхность. В таком случае, прямые будут иметь ту же кривизну, что и поверхность.

Есть ещё второе допущение, связанное с понятием параллельности. Когда мы устанавливаем полки в книжном шкафу, то стараемся сделать так, чтобы вертикальное расстояние между обеими их краями было равным. Если одна из полок имеет лёгкий наклон, то если бы мы продолжили её до бесконечности, то она в итоге пересеклась бы с другой полкой. Обычно мы не обращаем внимание на данный факт, однако здесь мы имеем два разных параметра: постоянное расстояние и отсутствие пересечения. Параллельность — это второй из них: две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке ниже изображены прямая (которая становится кривой) и точка А, не лежащая на d, в изогнутом пространстве. Как мы видим, в данном случае через А можно провести бесконечное число параллельных линий d, а не только одну, как утверждал Евклид. Линии d1, d2 и d3 параллельны d (поскольку ни в одной точке не пересекаются с ней) и проходят через А. Это пример гиперболической геометрии, основанной Николаем Лобачевским в XIX веке. А чуть позже Бернхард Риман основал сферическую геометрию (в которой невозможно провести параллельную линию).

Это не просто математическая диковинка. Гиперболическая геометрия, помимо прочего, помогает понять геометрию чёрных дыр. В определённом смысле, она также сделала возможными открытия Эйнштейна в области относительности, которая предполагает возможность существования любого типа пространственно-временной геометрии. Представим, например, чёрную дыру с выходом в другую вселенную с противоположной стороны. Это называется кротовьей норой. Подобная конструкция позволила бы путешествовать в пространстве и времени. Всё это пока лишь в теории, однако научная фантастика уже вовсю эксплуатирует данную идею.

Литература, и в особенности поэзия, — это область полной свободы. Однако сколько начинающих поэтов никогда не выходят за рамки традиционных форм? В отличие от Раймона Кено, члена Математического общества Франции, написавшего «Сто тысяч миллиардов стихотворений», сборник в жанре комбинаторной литературы, на прочтение всех содержащихся в котором потенциальных вариантов, по словам самого Кено, понадобилось бы 200 миллионов лет беспрерывного круглосуточного чтения. А ещё этот поэт написал «Великую битву», где использовал несуществующие слова; несмотря на это, читатель прекрасно понимает, о чём идёт речь. Как видим, использование своей свободы на 100% открывает неисчислимые возможности в самых разных сферах.

Как писал Шекспир в трагедии «Юлий Цезарь»:

У каждого раба в руках есть средство
Освободиться от своих оков.

16

ЗЛЫЕ СОБАКИ

Англичанин по фамилии Смит поместил четыре собаки в загон. Однако они вели себя агрессивно по отношению друг к другу. Чтобы разделить их, он может использовать ещё один, маленький квадратный загон, поместив его внутри большого загона. Загоны невозможно разобрать или изменить их форму.

Как мистер Смит должен поместить маленький загон, чтобы разделить всех собак?

Несколько подсказок: пересечение диагоналей большого загона является центром окружности, описанной вокруг него; диагонали малого загона пересекаются под прямым углом; диагональ малого загона равна стороне большого загона; в евклидовой геометрии сумма четырёх прямых углов равна 360°.

Ещё одна подсказка: из вышеприведённых подсказок лишь одна полезна при решении данной головоломки. И еще: заметили ли вы, что, думая о квадрате, мы всегда представляем его себе с двумя сторонами, параллельными линии горизонта, и двумя строго вертикальными (тогда как ромб всегда представляется, как повернутый на 45° квадрат)?

Решение

Достаточно лишь повернуть маленький загон. В таком случае будет даже место для пятой собаки.

За кулисами

Избыток информации убивает информацию

Мы намеренно добавили много лишней информации к изложению данной головоломки. Если указанием на национальность можно пренебречь, то подсказки служат единственной цели запутать вас. Лишь подсказка о том, что диагональ малого загона равна стороне большого загона, имеет ценность, так как благодаря этому маленький загон идеально вписывается внутрь большого. Всё остальное — не более чем шум. Либо вы пробежали глазами по подсказкам, либо проигнорировали их: в обоих случаях вы упустили представляющую интерес информацию, которая была спрятана среди бесполезной. Это наводит на две мысли: во-первых, наш мозг не приспособлен к обработке слишком большого количества информации; во-вторых, одна из главных вещей в математике (а также в мышлении в общем) — это организация информации.

В 1956 году американский психолог Джордж Миллер опубликовал книгу «Магическое число семь плюс-минус два: О некоторых пределах нашей способности обрабатывать информацию». В ней он описал эксперимент, в ходе которого предоставлял участникам определённое количество информации (последовательность звуков, букв, чисел и т. д.). Миллер заметил, что люди запоминают информацию, если количество её единиц не превышает 5 — 6; если информации больше, то ум неспособен зафиксировать её в полном объёме. Более недавние исследования показывают, что наша кратковременная память способна удерживать до 4 элементов.

Если бы вам сказали, что на дне рождения Эммы присутствовали Аркадий, Чжан, Мирча и Эбигейл, а затем попросили повторить эти имена в том же порядке, ваша память могла бы изменить вам, так как вы не знаете этих людей. А вот если бы вам сказали, что на день рождения Мадонны были приглашены Джордж Клуни, Барак Обама, Бейонсе и Элтон Джон, вам было бы куда легче запомнить их имена. Почему? Потому что данные имена ассоциируются у вас с реальными людьми. Точно так же, когда вы прочли четыре подсказки, то наверняка ничего не запомнили.

Возможности человеческого мозга имеют чёткие пределы; но есть и исключения — саванты, чья память напоминает память компьютера. Синдром саванта, популяризированный благодаря фильму «Человек дождя», связан с аутизмом. Главный герой фильма вдохновлён американцем Кимом Пиком. Как и все саванты (которых на данный момент на планете около сотни), Пик имел уникальные способности. Если ему называли случайную дату, он мог моментально ответить на какой день недели она выпадает; он мог прочесть 8 страниц за 43 секунды и 2 часа спустя повторить 98% содержащейся на них информации. А немец Рюдигер Гамм мог всего за несколько секунд вычислить 68 в 32 степени или синус 358 964 583.

Умственные способности этих людей поразительны. Но можно ли считать этих людей гениями? Никто не спрашивал Кима Пика, что он думает о прочитанных страницах. Что касается Рюдигера Гамма, то он делал сложные математические расчёты, но мог ли он решить геометрическую задачу? Оба обладали исключительными способностями в строго ограниченной области.

Мозг среднестатистического человека не обязательно уступает их: в отличие от большинства савантов, он может выполнять большое количество повседневных задач — например, управлять автомобилем, одновременно слушая музыку и беседуя со своим пассажиром и определяя эмоциональное состояние последнего по его интонации и жестикуляции, при этом держа в уме собственные семейные и финансовые проблемы.

Возможности нашего мозга распределены между множеством навыков, тогда как у савантов они сконцентрированы на одном или двух. Ум рядового человека воспринимает ту же информацию, что и ум саванта, однако игнорирует большую часть по причине её бесполезности. Саванты же не фильтруют информацию и запоминают всё.

Именно благодаря этому процессу фильтрации каждый из нас воспринимает мир по-своему. Компьютерам доступно лишь одно-единственное видение мира — совершенное. Однако именно из несовершенства проистекает возможность создания новых видений.

Голова хорошо устроенная и голова наполненная

Афоризм Монтеня «лучше голова хорошо устроенная, чем голова наполненная» известен каждому. А вот так ли хорошо известна вся глава («О воспитании детей»), в которой он содержится? Вот несколько строк из неё, которые остаются актуальными даже спустя почти 5 столетий:

«Я хотел бы, чтобы, выбирая ему наставника, вы отнеслись к этому с возможной тщательностью; желательно, чтобы это был человек скорее с ясной, чем с напичканной науками головой, ибо, хотя нужно искать такого, который обладал бы и тем и другим, всё же добрые нравы и ум предпочтительнее голой учёности; и нужно также, чтобы, исполняя свои обязанности, он применил новый способ обучения.

Нам без отдыха и срока жужжат в уши, сообщая разнообразные знания, в нас вливают их, словно воду в воронку, и наша обязанность состоит лишь в повторении того, что мы слышали. Я хотел бы, чтобы воспитатель вашего сына отказался от этого обычного приёма и чтобы с самого начала, сообразуясь с душевными склонностями доверенного ему ребёнка, предоставил ему возможность свободно проявлять эти склонности, предлагая ему изведать вкус различных вещей, выбирать между ними и различать их самостоятельно, иногда указывая ему путь, иногда, напротив, позволяя отыскивать дорогу ему самому. Я не хочу, чтобы наставник один всё решал и только один говорил; я хочу, чтобы он слушал также своего питомца».

Одержимый идеей разработать метод, позволяющий кому угодно прийти к постижению истины, Рене Декарт в 1629 году написал трактат «Правила для руководства ума», в котором изложил 21 правило, которым должен следовать каждый. Вот первое из них:

«Целью научных занятий должно быть направление ума таким образом, чтобы он мог выносить твёрдые истинные суждения обо всех тех вещах, которые ему встречаются».

Цель обучения — не накопление знаний и получение дипломов, а приобретение способности анализировать и выносить суждения обо всём, с чем мы можем столкнуться в жизни. Третье правило сформулировано в том же духе:

«Касательно обсуждаемых предметов следует отыскивать не то, что думают о них другие или что предполагаем мы сами, но то, что мы можем ясно и очевидно усмотреть или достоверным образом вывести, ибо знание не приобретается иначе».

Другими словами, не стоит соглашаться с чем-то просто потому, что так говорят окружающие; необходимо уметь мыслить самостоятельно и не поддаваться предрассудкам. Это основа критического мышления и картезианского метода.

Математическое рассуждение основано на определении того, что нам необходимо для решения задачи. Это особенность математики: располагая знанием всего нескольких аксиом, верно мыслящий ум способен воссоздать весь свод математических знаний. Однако иногда лучше иметь не метод, а интуицию. Как отмечает Анри Пуанкаре:

«Изучая труды великих и даже рядовых математиков, невозможно не заметить и не различить две противоположные тенденции — или скорее два рода совершенно различных умов. Одни прежде всего заняты логикой; читая их работы, хочется думать, что они шли вперёд лишь шаг за шагом, по методу какого-нибудь Вобана, который предпринимает свою атаку против крепости, ничего не вверяя случаю. Другие вверяют себя интуиции и подобно смелым кавалеристам авангарда сразу делают быстрые завоевания, впрочем, иногда не совсем надёжные».

Выбирайте метод и фильтр на своё усмотрение.

17

ВСЕ НА ВЫБОРЫ

В Сенате штата Вирджиния 40 мест. Для принятия поправки к конституции необходимо абсолютное большинство, то есть 21 голос. В случае, если голоса разделяются поровну (и только в этом случае), голосует лейтенант-губернатор Вирджинии (аналог вице-президента).

Поправка о равных правах была призвана законодательно закрепить равенство прав граждан независимо от пола. Именно она обсуждалась в Вирджинии в 1980 году. Сенаторы проголосовали 20-20. Поскольку всем было известно, что лейтенант-губернатор поддерживает поправку, было очевидно, что она будет принята.

Однако один из сенаторов, выступавший против, сделал так, что поправка была отклонена. Зная, что он никого не подкупал, а действовал совершенно законно, как ему это удалось?

Решение

Сенатор заявил о конфликте интересов и отозвал свой голос. В результате результат стал 20-19 в пользу поправки. Поскольку равенства голосов не было, лейтенант-губернатор не мог голосовать. Само собой, большинство по-прежнему было за поправку, однако это было уже не абсолютное большинство.

За кулисами

Голосовать или считать?

Данная головоломка показывает, насколько большим может быть разрыв между убеждениями и выбором. В случае с Сенатом штата Вирджиния правило очень необычно и делает возможными уникальные математические манипуляции.

Но все мы знаем, что иногда голосуем за кого-то, кого не поддерживаем на все 100, потому что наш избранный кандидат не имеет шансов на победу. Мы не столько желаем победы тому, за кого голосуем, сколько пытаемся помешать победить кому-то другому.

Тема голосования не интересовала политических теоретиков до ХХ века. Политолог Уильям Райкер пишет:

«Исследователи демократии склонны считать механизм голосования и подсчёта голосов тривиальной темой. … Политические философы … игнорировали и пренебрегали теорией методов голосования, считая её чем-то, что лучше оставить муниципальным служащим».

Лишь в 1950-х годах исследователи, интресующиеся одновременно математикой и политической теорией, более детально занялись данной темой. Двумя основополагающими трудами того периода были «Коллективный выбор и индивидуальные ценности» (1951) будущего лауреата Нобелевской премии Кеннета Эрроу и «Теория комитетов и выборов» (1958) Дункана Блэка.

Однако голосование большинством использовалось не всегда. В древней Спарте голосовали аккламацией: принималось то решение, сторонники которого громче кричали. Данный метод имел одно преимущество: он позволял оценить степень эмоциональной приверженности выбору. Сегодня порой встречается голосование аплодисментами. А вот голосование при помощи бюллетеней не зависит от эмоционального компонента: один бюллетень даёт один голос, независимо от силы убеждений голосующего.

На протяжении первых веков существования христианства епископы избирались a clero et populo. Однако это было сопряжено с проблемами: некоторые аббатства находились под угрозой упадка из-за внутренних разногласий, месяцами или даже годами препятствовавших назначению нового человека на эту должность. Становилось всё труднее соблюдать принцип «Quod omnes tangit ab omnibus tractari et approbari debet» («Что касается всех, должно быть всеми обсуждено и одобрено»), содержавшийся в Кодексе Юстиниана. На Четвёртом Латеранском соборе в 1215 году церковь выбирала между тремя вариантами: консенсусом всей коллегии, большинством или голосами самых учёных членов коллегии.

Период правления папы Григория X (которому предшествовал самый долгий конклав в истории, длившийся с 1268 по 1271 год), однако, стало поворотным моментом, потому что никто не хотел повторения такого долгого процесса. В 1274 году была принятла булла «Ubi periculum», которая установила мажоритарный принцип при избрании Папы. В этом контексте миссионер-францисканец Раймунд Луллий предложил первые математические модели голосования.

Да здравствует аббатиса!

Раймунд Луллий родился в Пальма-де-Мальорке, месте пересечения еврейской, христианской и арабо-мусульманской культур, и позже возглавил администрацию короля Мальорки. В возрасте 30 лет у него случилось видение, и он решил стать миссионером. Благодаря этому он побывал во всей Европе и странах Средиземноморья, где познакомился с трудами арабских математиков, которых читал на языке оригинала. Из его трудов нас здесь интересуют два: роман «Бланкерна» (1283) (названный по имени главного героя, который становится монахом, затем аббатом и наконец папой и реформирует церковь) и трактат «Искусство выборов» (De arte electionis) (1299), который был обнаружен лишь в 1937 году.

Раймунд Луллий был очень известен при жизни и получил прозвище «doctor illuminatus». Из-за его репутации ему после смерти приписывались алхимические трактаты с целью повысить их авторитетность, хотя сам он презирал эту псевдонауку.

В 24 главе «Бланкерны» после смерти аббатисы монахини собираются, чтобы выбрать преемницу. В ответ на желание монахинь использовать голосование консенсусом, героиня по имени Натана (к которой Бланкерна испытывает плотское влечение) предлагает новый метод — голосование в два тура. Первый имеет целью определить монахинь, наиболее достойных участвовать в голосовании. Для этого каждая из них сравнивается с 19 другими в каждом из поединков, что даёт в итоге 190 сравнений. Так выбирается 9 лучших кандидаток, выигравших наибольшее число поединков. Во втором туре выбранные таким образом монахини проходят через аналогичный процесс: каждый поединок оценивается 7 остальными монахинями, и побеждает та, которая набирает больше всего баллов. Разумеется, благодаря своей мудрости в итоге побеждает Натана.

Поскольку реализовать данный метод на практике очень трудно, Луллий в «Искусстве выборов» предлагает другой, а именно поделить кандидатов в порядке старшинства: старший, А, сойдётся со вторым по старшинству, В. Если А побеждает, то сойдётся с С, и так далее. Чтобы одержать победу, самый старший должен победить всех более молодых, тогда как самый молодой должен победить лишь однажды. В то же время, тот факт, что итоговый победитель должен взять верх хотя бы однажды, делает невозможным избрание кандидата, которого поставит на последнее место большинство избирателей. По этой причине данный метод превосходит обычную мажоритарную систему.

К сожалению, ни один из этих методов так никогда и не был использован, и труды Раймунда Луллия были практически полностью забыты. Николай Кузанский, открывший их полтора века спустя, развил их, но эта часть его трудов тоже в итоге забылась. Интерес к математическому анализу выборов позже возродился с Борда и Кондорсе, однако и они канули в забытьё. Лишь в 1950-х годах все эти авторы и их методы вновь стали актуальными.

Искусство политического расчёта

Связанные с выборами математические расчёты — это, конечно, интересно, но какая от них польза? А вот какая. Они помогают оценить разумность правил голосования, потенциальные проблемы при их применении и их сильные стороны. В 1952 году политолог Кеннет О. Мэй опубликовал статью, в которой продемонстрировал, что избрание большинством имеет уникальные преимущества, которых не имеет ни одна другая система. При нечётном числе избирателей лишь голосование большинством выполняет следующие 4 условия:

1. голоса всех избирателей равноценны (анонимность);
2. все кандидаты имеют одинаковые шансы на победу (нейтральность);
3. рейтинг кандидата не может понизиться при получении им дополнительного голоса (монотония);
4. если соревнуются только два кандидата, то будет избран только один из них (окончательный выбор).

Сегодня эти 4 условия могут показаться самоочевидными. Поэтому представим себе их противоположности:

1. Система, при которой голоса определённых избирателей (самых старших, самых богатых или самых образованных) считаются за 2. В XIX веке предпринимались повсеместные попытки ограничить всеобщее голосование: в Бельгии и Британии голос одного человека мог считаться за 3 или 4, если этот человек был, например, богатым землевладельцем. Данная система использовалась в Бельгии до Первой мировой войны, а в Британии — до Второй мировой.
2. Определённым кандидатам отдаётся предпочтение по причине их возраста, пола или социального статуса. Подобная система практикуется при наборе в ВУЗы и приёме на работу: например, при равном уровне образования, предпочтение отдаётся женщине с целью содействия равноправию.
3. Система, при которой голосование за определённого кандидата понижает его рейтинг. Пример — правила голосования в Сенате штата Вирджиния.
4. Четвёртое условие исключает, например, голосование квалифицированным большинством. Во Франции для внесения изменений в конституцию необходимо большинство в 2/3 голосов; из этого следует, что голос каждого из оставшейся трети имеет больший вес, чем голос каждого представителя большинства.

Таким образом, голосование большинством имеет гарантируемые математикой преимущества, связанные с равенством. Именно поэтому мы часто отождествляем демократию с мажоритарной системой. Тем не менее, математика также позволяет кандидатам и избирателям манипулировать процессом голосования с выгодой для себя (например, практика джерримендеринга или введение дополнительных правил). Уильям Райкер называет это ерестетикой.

Райкер был самым влиятельным политологом в США во второй половине ХХ века. В своей книге «Искусство политической манипуляции» он привёл множество способов использовать математику для победы на выборах. Вот один из примеров:

«В 1858 году должны были пройти выборы в Сенат штата Иллинойс, а 2 годами позднее — президентские выборы. Кандидат от республиканцев Авраам Линкольн значительно отставал от кандидата от демократов Стивена А. Дугласа и там, и там. 27 августа 1858 года во Фрипорте, недалеко от Чикаго, Линкольн попытался расколоть Демократическую партию, задав Дугласу коварный вопрос: “Может ли народ какой-либо территории Соединённых Штатов каким бы то ни было образом, против воли кого-либо из граждан Соединённых Штатов, запретить рабство в пределах своих границ до принятия конституции штата?”».

Этот коварный вопрос относится скорее к юриспруденции, чем к политике. Дуглас, почуяв подвох, попытался уклониться от ответа, но Линкольн потребовал от него ответить либо «да», либо «нет». Ответив «да», он бы польстил демократам из Иллинойса, но разозлил демократов из Южных штатов, где рабство было основой экономики. Ответив «нет», он бы польстил демократам с Юга, но оттолкнул от себя демократов из Иллинойса. Поскольку выборы в Сенат должны были состояться очень скоро, а до президентских было ещё довольно далеко, Дуглас решил ответить «да». Вскоре после этого он был избран в Сенат Иллинойса. Однако вопрос рабства расколол Демократическую партию: в 1860 году оппонентом Дугласа стал не только Линкольн, но и Джон Кабелл Брекинридж, лидер демократов Юга. Результаты оказались печальными для демократов: Дуглас набрал 29,7%, Брекинридж — 18,1%, а Линкольн — 39,8%. Несмотря на то, что суммарно демократы получили 47,8% голосов, спровоцированный Линкольном раскол внутри партии позволил последнему праздновать победу.

Что сделал Линкольн с математической точки зрения? Он представил электорат соперника как облако точек, а затем стал искать ось, позволяющую разделить его на две более-менее одинаковые части. Это метод главных компонент, описанный Гарольдом Хотеллингом. Сегодня ось можно найти посредством опросов избирателей, которые позволяют понять, исходя из различных демографических, социальных и экономических характеристик, какой подход будет наиболее эффективным в ходе дебатов.

Но не стоит играть с огнём. Дуглас обвинил Линкольна в разжигании конфликта между рабовладельческими и свободными штатами США. И действительно, избрание Линкольна почти сразу привело к отделению некоторых южных штатов, а затем и гражданской войне.

18

ИЩИТЕ ОШИБКУ

Из этих утверждений 5 неверны

14 + 15 = 28

9 * 9 = 81

5 + 10 +17 = 31

346 — 5 = 342

2 + 699 = 701

26 + 27 = 54

Решение

Вот 5 неверных утверждений: первое, третье, четвёртое, шестое…, а также утверждение о том, что 5 утверждений неверны.

За кулисами

Когда всё туманно…

Греческий историк Геродот рассказывает, что в VI веке до н. э. царь Лидии Крёз отправил послов к Дельфийскому и Амфиарайскому оракулам с вопросом, следует ли ему начинать войну с персами. Оба оракула ответили, что если он пойдёт на персов, то сокрушит великое царство. Крёз очень обрадовался, не зная, что этим царством будет его собственное. Поскольку ответ оракулов был расплывчатым, Крёз услышал то, что хотел услышать.

Предложенная здесь головоломка также подразумевает расплывчатость. Как в пророчестве не уточнялось, какое именно царство будет сокрушено, так и в задании не содержится знак «: », который бы отделил задание от утверждений. А так задание — это на самом деле первое утверждение. Читатель, вне всяких сомнений, заключил, что двоеточие подразумевается — как Крёз заключил, что подразумевается персидское царство.

При решении данной головоломки девизом должно быть сомнение, тесно связанное с мыслью Декарта.

Сомнение как метод

В «Рассуждении о методе» философ задаётся целью поставить под сомнение вещи, которые кажутся очевидными. Во второй части своего труда автор излагает четыре правила достижения истины, из которых два применимы к нашему случаю.

Первое заключается в том, чтобы «тщательно избегать поспешности» и «включать в свои суждения только то, что представляется моему уму столь ясно и отчётливо, что никоим образом не сможет дать повод к сомнению». Читая головоломку, мы делаем поспешный вывод о том, что первая фраза — это задание.

Четвёртое правило — «делать всюду перечни настолько полные и обзоры столь всеохватывающие, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено». Мы пренебрегаем данным правилом, не анализируя все аспекты задания.

Но хоть имя Декарта и стало ассоциироваться с сомнением, речь здесь идёт о фундаментальном принципе философии: ничего не принимать за истину без тщательного анализа.

Подводные камни логики

Порой логика может вводить нас в заблуждение. Рассмотрим утверждение: «Если Земля плоская, то 2 + 2 = 4». Кажется очевидным, что данное утверждение ложно: форма Земли не имеет никакого отношения к тому, что 2 + 2 = 4. Тем не менее, данное утверждение верно.

Чтобы понять почему, необходимо обратиться к основам логики: исходя из верного утверждения и рассуждая верным образом, нельзя не прийти к другим верным утверждениям. Например, из утверждения «Земля круглая», можно вывести «сущствует северное полушарие» и «в северном полушарии температура в июле в среднем выше, чем в январе». А вот исходя из неверного утверждения, можно вывести как неверные, так и верные утверждения. Это называется принципом взрыва; он резюмируется латинским афоризмом ex falso sequitur quodlibet («из ложности следует что угодно»). Итак, из ложного утверждения «Земля плоская» я могу вывести как ложное утверждение «Земля является центром Вселенной», так и верное утверждение «день чередуется с ночью». С точки зрения логики, утверждение: «Если одно ложно, то и другое ложно», также верно, поскольку верно, что из одного ложного утверждения может следовать другое ложное утверждение. Нужно рассматривать не каждое утверждение по отдельности, а связь между ними.

Принцип взрыва можно математически представить следующим образом:

Проще говоря, исходя из противоречия, содержащего истинное и ложное утверждения:

1. Предположим, что А и не-А верны.
2. Из этого можно сделать вывод, что А верно.
3. Каким бы ни было утверждение В, можно сделать вывод, что дизъюнкция (А или В) верна.
4. Из пункта 1 можно сделать вывод, что не-А верно, а это означает, что А ложно.
5. Из того, что (А или В) верно, а А ложно, можно сделать вывод, что В по необходимости верно.

Таким образом, из изначального утверждения (1) можно вывести, что любое утверждение верно.

19

ЛОГИКА ОКРЫЛЯЕТ

Имея вдоволь свободного времени при посещении маленького городка, логик решает вытатуировать себе крылья на спине, поскольку, как известно, логика открывает небесные врата.

В городке всего 2 тату-мастера, каждый из которых работает в своём собственном салоне. Логик заглядывает в первый и обнаруживает, что там беспорядок и пахнет алкоголем; он просит тату-мастера показать собственные татуировки на спине — они выглядят ужасно. Второй салон же чист, а татуировки на спине мастера именно такие, как хочет сам логик.

Вопреки ожиданиям, логик выбирает воспользоваться услугами первого тату-мастера. Почему?

Решение

Поскольку татуировка на спине, её первому мастеру должен был сделать второй мастер. Это значит, что второй мастер плохой, а первый — хороший.

За кулисами

Парадокос или неверный вывод?

Когда нечто кажется нам нелогичным, мы называем это парадоксом. С точки зрения этимологии, это верно: слово происходит от греческих παρα — «рядом» и δόξα — «мнение». Парадокс — это нечто, что противоречит представлениям и здравому смыслу. Поскольку в нашей головоломке тату-мастер с хорошей татуировкой является плохим мастером, и наоборот, мы имеем дело с парадоксальной ситуацией. Но парадоксы бывают разными. Американский логик Уиллард Ван Орман Куайн выделяет два типа парадоксов, которые иллюстрирует двумя примерами:

1. Фредерик, главный герой оперы «Пираты Пензанса, или Раб долга», достигает 21-летия всего после 5 дней рождения. Здесь парадокс проистекает из того, что мы привыкли связывать количество прожитых лет с количеством дней рождения. Однако для людей, родившихся 29 февраля, это не так. Здравый смысл склонен всё упрощать, а здесь мы имеем дело с исключением.
2. Цирюльник бреет всех мужчин в деревне, которые не бреются сами, и только их. Проанализируем данную ситуацию. Если цирюльник не бреется сам, то должен брить себя, поскольку он бреет всех мужчин в деревне, которые не бреются сами. Это порождает противоречие: если он не бреется сам, то бреет себя. С другой стороны, если он бреет себя, то можно сказать, что он не бреется сам, поскольку он бреет только тех мужчин, которые не бреются сами. И снова возникает противоречие: определение не имеет смысла.

Разница между этими двумя типами парадоксов вот в чём: первый возможен (необходимо лишь откорректировать изначальное допущение), тогда как второй содержит в себе неразрешимое противоречие.

Спасти лицо

Опустите соломинку в стакан с водой, и вы увидите, как она сломается. Действительно ли она ломается? Конечно нет. Достаточно лишь вынуть соломинку из воды, чтобы в этом убедиться. А вот понять вызывающее данную иллюзию явление куда сложнее. Закон преломления лучей света открыл Виллеброрд Снелл. Он сделал это раньше Декарта, однако не успел опубликовать своё открытие при жизни, поэтому во Франции этот закон называется законом Снелла-Декарта, а в остальном мире просто законом Снелла.

Данный пример показывает, что видимое должно подвергаться сомнению. В случае с соломкой видимость очевидно обманчива, но так бывает не всегда. И именно кажущиеся верными явления необходимо подвергать сомнению в первую очередь.

Кажущееся вращение Солнца вокруг Земли долгое время служило источником споров: как объяснить, что солнце садится на западе, а на следующее утро встаёт на востоке? Что происходит ночью, и почему солнце вдруг оказывается с другой стороны? Древние египтяне считали, что с наступлением сумерек солнце на лодке проделывает полукруг и поэтому утром оказывается на востоке.

Анаксимандр Милетский, ученик Фалеса, предложил ещё более неожиданное для нас сегодня решение: он представил Землю в виде висящего в космическом пространстве цилиндра, на одной из плоских поверхностей которого находятся люди. Данная теория позволяла объяснить, почему поверхность Земли кажется нам плоской. Ночь же, по мнению Анаксимандра, возникает, когда солнце проходит с противоположной стороны цилиндра.

Двумя столетиями позже Аристотель уже был убеждён, что Земля круглая, однако лишь столетие спустя Аристарх Самосский смог математически доказать, что именно Земля вращается вокруг Солнца, а не наоборот. Как он это сделал? Никто точно не знает, поскольку его труды не сохранились. Однако мы знаем причину, по которой он решил рассмотреть гелиоцентрическую модель. Плутарх сообщает:

«Он пытался сохранить лицо, выдвинув гипотезу о том, что небо неподвижно, в то время как Земля вращается вокруг Солнца по эклиптике, а также вокруг своей собственной оси».

Аристарх основал свою теорию на наблюдении не только за Солнцем, но и за всеми видимыми звёздами. Так он обнаружил несоответствия между геоцентрической теорией и основанными на наблюдениях расчётами.

Итак, если наши чувства порой мешают, а порой помогают, как отличить истинное от ложного? Монтень формулирует проблему так:

«Чтобы судить о представлениях, получаемых нами от вещей, нам нужно было бы обладать каким-то оценивающим инструментом; чтобы проверить этот инструмент, мы нуждаемся в доказательствах, а чтобы проверить доказательство, мы нуждаемся в инструменте: и вот мы оказываемся в порочном круге. Так как чувства не в состоянии разрешить наш спор, поскольку они сами совершенно недостоверны, его должно решить рациональное доказательство; но всякое рациональное доказательство нуждается в другом доказательстве — и мы, таким образом, обречены на непрерывное движение вспять».

Монтень, который был скептиком, здесь довольствуется утверждением о том, что любое знание иллюзорно. Однако это не совсем так: посредством многократного сопоставления теории с реальностью, мы шаг за шагом приближаемся если не к конечной истине, то, по крайней мере, к теории, которая немного менее ложна, чем прежде. Поэтому видимость должна служить нам ориентиром, однако должна рассматриваться не как истина, а как нечто, что надлежит подвергать сомнению.

20

ВОЛШЕБНЫЙ ШОКОЛАД

Как-то раз фея Голозетта, известная на всю страну как большая сладкоежка, решила навестить Деда Мороза. Накануне праздников тот делал гигантские плитки шоколада.

— Выглядит аппетитно! — воскликнула она.

— Не трогай: это на подарки!

— Я их не съем. Погоди, я покажу тебе фокус!

Голозетта взяла нож и разрезала одну из плиток шоколада на четыре части так, как показано на первом рисунке:

Затем она вновь сложила плитку из этих четырёх частей, как на втором рисунке:

Дед Мороз был не в восторге.

— Твой фокус глупый.

— Мне очень жаль. Мне он по вкусу, и я подумала, что тебе он тоже понравится.

— Хватит, я потерял достаточно времени из-за тебя. У меня полно работы.

Довольная фея Голозетта ушла. А Дед Мороз, приступив к пакованию подарка, нахмурился. Он снова посмотрел на плитку шоколада и подсчитал количество квадратов: до фокуса их было 65, а теперь стало 64.

Как это возможно?

Решение

Кажется, что четыре части идеально совпадают; однако это не так. Это ясно видно, если провести более тонкие линии.

В двух местах, обозначенных кругом и квадратом, на первом рисунке диагональ не проходит точно через углы маленьких квадратов, тогда как на втором разделительные линии проходят через углы, не оставляя зазора.

Именно пространство, соответствующее этим зазорам, исчезает на втором рисунке. Из-за толщины линии зазора не было видно, поэтому части плитки казались идентичными, хотя это не так.

За кулисами

Видимость обманчива

Секрет головоломки в том, что в двух фигурах диагональные линии проведены под не совсем одинаковым углом. В прямоугольной плитке большая диагональ пересекает 5 квадратов по вертикали и 13 по горизонтали (5/13), тогда как в квадратной плитке верхняя диагональ пересекает 3 квадрата по вертикали и 8 по горизонтали (3/8). Следовательно, разница наклонов равна 5/13 — 3/8 = 1/104.

Данное число кажется очень незначительным, однако, как показал Фибоначчи, оно имеет весомый эффект. Леонардо Пизанский по прозвищу Фибоначчи вырос в Беджае, Алжир, где познакомился с трудами арабских алгебраистов, в том числе Аль-Хорезми. Он был знаком с императором Фридрихом II Гогенштауфеном по прозвищу stupor mundi («чудо мира»), который в Палермо собрал при дворе самых учёных людей эпохи. В «Книге абака» Фибоначчи моделирует увеличение популяции кроликов:

«В место, огороженное со всех сторон стеной, поместили пару кроликов, природа которых такова, что любая пара кроликов производит на свет другую пару каждый месяц, начиная со второго месяца своего существования. Сколько пар кроликов будет через год?».

Для решения данной задачи используется последовательность Фибоначчи, в которой каждое следующее число равняется сумме двух предыдущих:

В нашей головоломке есть только числа 3, 5, 8, 13, которые являются последовательными членами ряда Фибоначчи. В этой последовательности квадрат каждого члена минус произведение его соседних членов равняется попеременно +1 и -1:

Поэтому можно было бы создать аналогичную головоломку с прямоугольной плиткой шоколада шириной 13 и длиной 34 и квадратной плиткой со сторонами 21 (либо прямоугольной 34Х89 и квадратной 55Х55). Любопытно отметить, что результат деления каждого члена последовательности на предыдущий примерно соответствует золотому сечению:

Золотое сечение, обозначаемое греческой буквой φ, приблизительно равно 1,61803. Иллюзия в нашей головоломке возникает благодаря тому, что соотношение между длиной и шириной изначального прямоугольника близко к числу ф. Чем стороны больше (в пределах последовательности Фибоначчи), тем их соотношение ближе к золотому сечению и тем более убедительна иллюзия.

Фибоначчи рассматривал задачу о кроликах как не более чем диковинку (она занимает меньше страницы в «Книге абака»), и лишь через несколько столетий возник интерес к этой последовательности и её связи с золотым сечением, навсегда связав имя Фибоначчи с рядом чисел, которому он не придавал значения.

Строгость мышления

Рисунок — это не доказательство. Ещё Платон скептически относился к использованию рисунков в геометрии, считая, что эти жалкие подобия идеальных фигур лишь вводят в заблуждение. Одна из главных проблем при изображении геометрических фигур заключается в нашей неспособности придать им правильный вид.

Рассмотрим, например, первые два определения из «Начал» Евклида:

1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия — длина без ширины.

Как можно нарисовать точку и линию в строгом соответствии с этим определением? Как поставить точку, которую невозможно разделить на части? Как провести линию, не имеющую толщины? Именно потому что, строго говоря, это невозможно, Евклид на первых страницах изложил постулаты, в частности:

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.  

Это кажется самоочевидным, однако это абсолютно необходимо, когда даются определения, настолько удалённые от чувственной реальности. Поскольку точка и линия Евклида — это не точка и линия, нарисованные на листе бумаги, нет никаких оснований считать, что они строятся таким же образом. Евклидовская революция состоит именно в том, что он привносит строгость и точность, которых недоставало его предшественникам Фалесу, Пифагору и другим.

Таким образом, данная головоломка учит нас, что геометрия — это не только рисунки, но также доказательства. Платон считает геометрию полезной дисциплиной для воспитания молодёжи. По его мнению, геометрия «влечёт душу к истине и воздействует на философскую мысль, стремя её ввысь, между тем как теперь она у нас низменна вопреки должному. … Значит, надо по возможности строже предписать, чтобы граждане Прекрасного города ни в коем случае не оставляли геометрию: ведь немаловажно даже побочное её применение».

21

ЧЕСТНОЕ ПИОНЕРСКОЕ

Верно ли первое утверждение жирным шрифтом?

Утверждение ниже верно.

Утверждение выше неверно.

Решение

Это нерешаемая головоломка. Есть только два возможных ответа: «да» или «нет».

Если мы отвечаем «да», то второе утверждение жирным шрифтом верно, а это значит, что первое неверно. То есть мы должны были ответить «нет», а не «да».

Если мы отвечаем «нет», то второе утверждение жирным шрифтом становится неверным, а это значит, что первое верно. То есть мы должны были ответить «да», а не «нет».

Напоследок мы решили включить задачу, не имеющую решения (апорию), чтобы порассуждать над понятиями истины и логики.

За кулисами

Мания величия

Некоторые результаты в математике — даже очень простые — кажутся подозрительными, так как выглядят отчасти верными, а отчасти ложными. Так, например, обстоит дело со следующим равенством:

0,9999999999999999999… = 1

Данное равенство представляется ложным a priori, поскольку есть разница между 0,9999999999999999999… = 1; это маленькая разница, но её достаточно, чтобы два числа нельзя было считать одинаковыми. Поэтому мы склонны считать, что это почти верно, но не совсем. И тем не менее, эти два числа равны. Число 0,9999999999999999999… содержит троеточие, а это значит, что 9 продолжаются до бесконечности. Это ключевой фактор.

В числе 0,99 действительно недостаёт 0,01 до 1. Точно так же в числе 0,99999 недостаёт 0,00001. То есть чем больше 9, тем больше будет 0. Поэтому бесконечному количеству 9 соответствует бесконечное количество 0. А бесконечное количество 0 перед и после запятой — это 0. В данном случае с нами играет злую шутку наша неспособность постичь бесконечность. Таким образом, 0,9999999999999999999… = 1. Это кажется странным, но, как отмечает Анри Пуанкаре: «Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем».

В этом примере результат, выглядящий ложным, оказывается верным. В других случаях бывает наоборот. Рассмотрим последнюю теорему Ферма, которая гласит:

Не существует целых положительных чисел x, y и z, удовлетворяющих уравнение

при любом натуральном значении n > 2.

Это значит, что используя целые числа, невозможно разложить куб на сумму двух кубов, четвёртую степень на сумму двух четвёртых степеней и так далее. А вот с квадратом это работает, как показывает следующий пример:

В XVII веке Ферма не доказал свою теорему, но это сделал в 1995 году Эндрю Уайлс. Неподражаемый Гомер из «Симпсонов» в одной из серий самостоятельно открывает следующее равенство:

Действительно ли персонажу мультфильма удалось опровергнуть последнюю теорему Ферма? Согласно калькулятору — да… по крайней мере, в том, что касается чисел на экране, потому что числа здесь настолько велики, что машина не в состоянии отобразить их полностью. На самом деле

равняется примерно 254121025861459 (с 25 нулями), тогда как

равняется примерно 254121025931480 (с 25 нулями).

Так что решение Гомера Симпсона неверное.

Но достаточно ли быть предельно точным, чтобы определить, является ли утверждение верным или ложным? Хотелось бы ответить «да»…, но не всё так просто.

Истина в математике

Существует одновременно несколько понятий об истине, предложенных разными философами. Однако сначала стоит подчеркнуть важный факт: в природе истины не существует; истина — это творение человека. Именно это утверждает в своём «Левиафане» Томас Гоббс:

«Ибо истина и ложь суть атрибуты речи, а не вещей. Там, где нет речи, нет ни истины, ни лжи. Ошибка может быть тогда, когда мы ждём того, чего не будет, или предполагаем то, чего не было, но в этом случае человек никак не может быть виновен во лжи. Так как мы видим, что истина состоит в правильной расстановке имён в наших утверждениях, то человек, который ищет точной истины, должен помнить, что обозначает каждое употребляемое им имя, и соответственно этому поместить его; в противном случае он попадёт в ловушку слов, как птица в силок, и, чем больше усилий употребит, чтобы вырваться, тем больше запутается. Вот почему в геометрии (единственной науке, которую до сих пор Богу угодно было пожаловать человеческому роду) люди начинают с установления значений своих слов, которые они называют определениями».

Фраза «Я читаю кабачок» грамматически верна, однако неверна с точки зрения смысла. А вот фраза «Я читаю книгу» верна, если это действительно имеет место: утверждение и реальность совпадают. Но само по себе чтение книги не может считаться верным или ложным — не нужно путать реальность с истиной.

Математика необязательно связана с реальностью; она основана на аксиомах и логике. То или иное утверждение считается логическим, если его истинность или ложность можно доказать. Например, фраза «данное утверждение неверно» ни верна, ни ложна, поэтому не является логическим утверждением.

В математической теории может приниматься в качестве исходного принципа, что 2 + 2 = 5. Такая теория будет сильно отличаться от того, к чему мы привыкли, однако если для принятия данного постулата были веские причины, из него неизбежно следовало бы, что равенство 4 + 4 = 10 верно. Таким образом, математическая истина — это не абсолютная истина; она неразрывно связана с системой отсчёта.

Однако если математика необязательно связана с реальностью, то как получается, что она настолько точно её описывает? Вопрос остаётся открытым. Но можно предложить следующий ответ: человек — это результат многих миллионов лет эволюции; это не может не отражаться на том, как мы видим мир, частью которого являемся. Всё, что мы делаем в математике, неизбежно согласуется с вещами в окружающем мире. Лауреат Нобелевской премии по физике Юджин Вигнер писал о «непостижимой эффективности математики в естественных науках». А Платон напоминает, что математика невозможна без наблюдения за окружающим миром:

«Вот и в нынешнем нашем рассуждении мы не смогли бы сказать ни единого слова о природе Вселенной, если бы никогда не видели ни звёзд, ни Солнца, ни неба. Поскольку же день и ночь, круговороты месяцев и годов, равноденствия и солнцестояния зримы, глаза открыли нам число, дали понятие о времени и побудили исследовать природу Вселенной».

Расширение области истины

Ранее мы говорили о том, что определённые утверждения не могут считаться логическими, так как содержат в себе противоречие. Это соответствует закону непротиворечия: утверждение не может быть одновременно истинным и ложным. Это кажется самоочевидным. Однако математические исследования XX века поставили под сомнение это представление.

Во-первых, к понятиям истинного и ложного добавилась третья возможность: истинное и ложное одновременно (в паранепротиворечивая логика) или не истинное и не ложное (в многозначной логике). Это новое представление о логике, опровергающее закон непротиворечия, разработал в 1920-х годах Ян Лукасевич, также известный благодаря созданию обратной польской записи, которая отменяет скобки и сокращает формулы, что делает калькуляторы более эффективными. Например:

Мысленный эксперимент, изветсный как кот Шрёдингера, позволяет понять суть этих новых видов логики. В 1935 году Эйнштейн заявил австрийскому физику Эрвину Шрёдингеру, что согласно уравнению последнего (сегодня известному как уравнение Шрёдингера), частица может одновременно находиться в двух взаимоисключающих состояниях, и привёл пример пороховой бочки, которая одновременно взрывается и не взрывается. Шрёдингер заменил пороховую бочку на кота и радиоактивный атом в сейфе (при распаде атом вызывает выделение ядовитого газа). Поскольку, согласно принципу квантовой суперпозиции, частица одновременно является и целой, и распавшейся, кот должен быть одновременно и живым, и мёртвым.

Это кажется парадоксальным, однако, с точки зрения математики, всё довольно просто: нужно лишь представить состояние жизни в виде горизонтальной оси, а состояние смерти — вертикальной. Тогда состояния кота можно записать при помощи координат:

, где α и β — это числа [vivant — жив, mort — мёртв]. Если кот полностью жив, α = 1, а β = 0. Это стандартный случай. Однако состояние кота может меняться; при этом значение α будет уменьшаться, а значение β увеличиваться (как при постепенном превращении воды в лёд). В этом случае кот будет одновременно находиться в обоих состояниях, как если бы два мира — один, в котором кот жив, и другой, в котором кот мёртв — существовали параллельно.

Дыры в истине?

Не успел Геракл повергнуть Немейского льва, как получил второе задание: убить Лернейскую гидру. Победить это многоголовое морское чудовище было не так-то просто, поскольку как только Геракл отрубал одну голову, на её месте тотчас же выростали две или три новых. В мифе Гераклу помогает его племянник Иолай, который прижигает основания отрубленных голов, не позволяя им вырасти вновь. Немного изменив миф, можно получить занимательную математическую задачу.

Изобразим гидру в виде графика:

Геракл может перерубить только шею, на конце которой находится голова (в противном случае достаточно было бы отсечь шею у основания, и дело было бы сделано). При отсечении головы она исчезает вместе с соответствующей концевой частью шеи. Если голова была непосредственно прикреплена к телу, то ничего больше не происходит (как при втором ударе). Если же голова была прикреплена к разветвлению, гидра восстанавливается, производя копию части, расположенной ниже соответствующего узла. Гидра копирует эту часть столько раз, сколько раз её поражал Геракл: после первого удара — 1 раз, после третьего — 3 раза.

Как видно на последующих рисунках, изначально имея 6 голов, после третьего удара гидра имеет уже 8. То есть количество голов гидры увеличивается. По крайней мере, поначалу. На самом же деле, вопреки тому, что нам подсказывает интуиция, в итоге Геракл отрубил бы все головы. Более того, он мог бы сделать это, действуя наугад и не придерживаясь никакой тактики. Как можно увидеть, гидра множит головы, увеличиваясь по горизонтали, но уменьшаясь по вертикали: по мере того, как Геракл отрубает головы, новые головы вырастают всё ближе к телу гидры. Этот контринтуитивный, но легко демонстрируемый результат является иллюстрацией первой теореме Гёделя о неполноте.

В 1931 году 25-летний австрийский математик Курт Гёдель опубликовал 27-страничную статью, ставшую поворотным моментом в истории логики. В этой статье он продемонстрировал, что любая арифметическая теория по необходимости неполная, в том смысле, что есть утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть: это недоказуемые теоремы. Более того, автор показал, что непротиворечивая система не может доказать собственную непротиворечивость. По поводу второй теоремы математик Андре Вейль, брат философа Симоны Вейль, предположительно сказал: «Бог существует, потому что математика непротиворечива, а дьявол существует, потому что мы не можем это доказать».

Тем не менее, не совсем верно утверждать, что невозможно доказать последовательность арифметики: Гёдель говорит только, что она не может доказать собственную последовательность. Поэтому необходимо использовать другие средства, более мощные, чем те, которые предоставляет арифметика. В этом подходе нет ничего необычного. Как отмечает Рэймонд Смаллиан:

«Верить в последовательность системы только потому, что она может доказать свою собственную последовательность, было бы так же глупо, как верить в честность человека только потому, что он утверждает, будто всегда говорит правду».

Что касается первой теоремы, то она также была неверно интерпретирована, и задача с гидрой это иллюстрирует. Как мы видели, Геракл в итоге обезглавит чудовище, хоть это и может занять много времени. Однако любопытно то, что данный результат невозможно доказать при помощи теории чисел (то есть конечных целых чисел). Для этого необходимы бесконечные порядковые числа.

Так что задача о гидре не абсолютно недоказуема; просто её решение лежит вне теории чисел.

«Всё прочее — литература»

Теоремы Гёделя вселяют одновременно отчаяние и надежду, так как, чтобы постичь то, что ускользает от нас, мы должны изобретать новые вымыслы. Вымысел в математике используется повсеместно: трансфинитные порядковые числа (бесконечность в квадрате, бесконечность в бесконечной степени) не существуют в реальной жизни и не отражают никакое реально существующее явление; тем не менее, они позволяют доказать, что Геракл в итоге обезглавит гидру (хотя в данной задаче используются только конечные целые числа). Но даже вымысел должен подчиняться определённой логике — как в литературе, так и в математике.

Взять, к примеру, таких персонажей, как Улисс, Ахилл, Дон Кихот и Анна Каренина. Существовали ли они когда-либо? Существуют ли сейчас? Не в действительности. Однако было бы неверно утверждать, что их не существует: тот факт, что они заставляют нас плакать и смеяться, наделяет их неким существованием. Поэтому вопрос не столько в том, реальны ли они, сколько в том, имеют ли они логический смысл и символическое значение? Однозначно да. А вот если бы среди ветряных мельниц, которым противостоял Дон Кихот, был ветрогенератор, это было бы нелогично и непоследовательно.

Уподобление методов литературы и математики может показаться изрядной натяжкой. Однако вот как Эдгар По описывает метод создания своего знаменитого стихотворения «Ворон»:

«Что до меня, то я не сочувствую подобной скрытности и готов в любую минуту без малейшего труда восстановить в памяти ход написания любого из моих сочинений; и поскольку ценность анализа или реконструкции, мною желаемой, совершенно не зависит от какого-либо реального или воображаемого интереса, заключённого в самой анализируемой вещи, то с моей стороны не будет нарушением приличий продемонстрировать modus operandi, которым было построено какое угодно из моих собственных произведений. Я выбираю “Ворона” как вещь, наиболее известную. Цель моя — непреложно доказать, что ни один из моментов в его создании не может быть отнесён на счёт случайности или интуиции, что работа, ступень за ступенью, шла к завершению с точностью и жёсткою последовательностью, с какими решают математические задачи».

Используя понятия «размеров» и «пропорций», По объясняет, как пришёл от чувства ностальгии к знаменитым словам «больше никогда!» и повторяющему эти слова ворону. Что касается ритма, то в нём пропорции выражены при помощи восьмистопного размера.

Виктор Гюго приводит слова великого математика Жозефа Фурье, который стремился «открыть тайну подобия». Поэт возразил на это, что только он один обладает данной тайной:

«Однако что такое поэт (я беру слово в его самом широком значении), если не переводчик, дешифровщик? У превосходных поэтов нет метафоры, эпитета или сравнения, которые не были бы математически точным применением к настоящим обстоятельствам, поскольку эти сравнения, метафоры и эпитеты почерпнуты в неисчерпаемых запасах всеобщего подобия и в ином месте они быть почерпнуты не могут».

Поэт Франсис Понж идёт ещё дальше и утверждает, что стилистические фигуры, имеющие математические названия, открывают возможности, подобные тем, которые открывает неевклидова геометрия:

«Эллипсис, гипербола… названия были те же, что и у фигур в евклидовой геометрии. Но теперь мы понимаем, что больше не можем представить то, что мы знаем о мире, при помощи евклидовой геометрии. Всё изменилось. Поэтому, если эллипс Евклида больше не подходит, то эллипсис в языке больше нельзя преподавать. Мы ищем новые фигуры, которые позволят нам объяснить мир таким, каким его отныне должны видеть физики и геометры».

Так же, как литература может считаться логическим и даже математическим пространством, математика может рассматриваться в качестве литературного пространства, вселенной из слов и идей, обнаруживающих человеческое в нас.

©Antoine Houlou-Garcia & Thierry Maugenest

Это сокращённая версия книги. Оригинал можно почитать тут.